살기힘들다

\( let \ \mathbb{R} : \text{the set of real number} \)\( M_{n \times n} (\mathbb{R}) : \text{ the set of n } \times \text {n square matrices with real entries} \) \( \text{Def) A function} f : M_{n \times n} ( \mathbb{R} ) \rightarrow \mathbb{R} \text{is called a determinant if it satisfies the following three rules.} \)\( (R1) f(I_n) = 1 \)\( (R2) \text{the value of f changes sign when two row..

타오 해석학을 바탕으로 정리한 글입니다.2. 기초로 돌아가기 : 자연수2.1 페아노 공리페아노 공리계 (자연수 집합 \( \mathbb{N} \) 이 만족해야 할 성질들에 대한 규정) 1. 임의의 자연수 x에 대해 x=x 이다. (반사관계) 2. 임의의 자연수 x, y에 대해 x=y 이면 y=x 이다. (대칭관계) 3. 임의의 자연수 x, y, z에 대해 x=y 이고 y=z 이면 y=z 이다. (추이관계) 4. 임의의 x, y 에 대해 x가 자연수이고 x=y 이면 y도 자연수이다. 5. 0은 자연수이다. 6. 임의의 자연수 n에 대해, n++도 자연수이다. (증가연산) 7. n++ = 0인 자연수는 존재하지 않는다. 8. n \( \neq \) m 이면, n++ \( \neq \) m++ 이다. 9. 어..

라플라스 방정식은 2차 편미분방정식으로, 다음과 같은 형태를 띈다.\( \frac{\partial ^2 y}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 y}{\partial y^2} = 0 \)이를 구면좌표계 형식으로 바꾸어 보자.구면좌표계는 기존의 직교좌표계와 달리, 각과 거리로 좌표를 표현한다.이에 따라 \( x = rcos \theta , \ y = rsin \theta \) 가 성립하고, 다음을 유도할 수 있다.i) \( \frac{\partial r}{\partial x} = cos \theta \) \( x^2+y^2 = r^2 \ \rightarrow 2x = 2r \frac{\partial r}{\partial x} \ \rightarrow \frac{\partial r}..

앞에서 르장드르 다항식을 처음 설명할 때 중력퍼텐셜을 계산하는 예를 들었었다.이젠 조금 더 심층적인 예시를 들어보려 한다.익히 알려진 사실이지만, 지구 곳곳에서 중력상수의 값은 다르다.이 때 지오이드라는 개념을 도입하게 되는데, 가상의 3차원 면을 도입하여 각 지역에서 중력가속도를 측정할 때의 기준면이 되도록 하는 것이다. 지형 등을 고려해 모두 같은 중력가속도를 갖도록 하는 높이를 지오이드고라고 하고, 이상적인 값(타원체고)에서 지오이드고(N)을 뺀 것을 표고라고 하고 이는 정의에 의해 지오이드로부터의 연직거리를 의미해 이로부터 중력가속도를 구한다.따라서 중력가속도의 정확도를 위해서는 지오이드고의 계산이 필수적인데, 지오이드고를 계산해보자. 우선, 앞에서 증명했던 르장드르 다항식에 의해\( \frac..

">함수가 직교성을 가진다는 것은 무슨 뜻일까?우선 일반적인 의미에서, 직선과 같은 도형이 직교하는 경우 그 기울기의 곱이 -1이 됨을 의미한다.행렬의 경우 그 전치행렬이 역행렬이 되는 경우를 의미한다.벡터의 경우 그 내적이 0이 되는 경우를 의미한다.이렇게 기존에 쓰이던 '직교'의 개념은 참 다양한데, 우리는 어떤 것을 함수의 직교성을 정의하는데 차용해야할까?일반적인 함수에 대해 기울기는 정의되는가? 전치함수는? 애초에 그게 역함수가 아닌가? 내적은?내적은 어떻게 정의할까?내적이라면 가능하지 않을까?연속함수는 모두 연속적인 벡터의 합 정도로 표현할 수 있으니 말이다.연속적으로 각 벡터의 내적값을 적분하면 그것이 곧 함수의 내적이 되는 것이겠다.그러한 의미에 의해, 두 함수의 내적은 다음과 같이 정의된다..

"> 르장드르 다항식은 예전에 접한 적이 있다.\( \int sin(sin (x)) \) 를 해결하기 위해 베셀함수에 대해 공부하다가 곁눈질로 살짝 봤었는데어떤 미분방정식의 해로서 제시되고 직교성이 보장된다... 등이 특이했었던걸로 기억한다.미분방정식의 해가 다항식의 꼴로 나오는것은 흔치 않으니까.그리고 함수공간에서의 '직교성'이라는 말 자체를 처음 들어보기도 했고 그래서 신기했었다. 그런데 이번에 물리 에세이를 준비하며 고전역학의 이것저것을 돌아보다가, 임의의 위치의 중력퍼텐셜이 \( \frac{1}{r-r'} \) 꼴로 표현되기에 이를 르장드르 다항식으로 표현할 수 있다는 것을 알게 되었고, 다음은 그 탐구 내용이다. 우선, 르장드르 다항식이란 다음과 같은 미분방정식의 해를 말한다. (이 다항식을 정..

테일러 급수란 흔히 초월함수라고 불리는 함수들을 다항함수의 식으로 표현하는 방법의 일환이다.즉, sin(x)와 같은 함수의 경우에도 다음과 같이 다항함수로 충분히 근사해 낼 수 있다는 뜻이다. 함수 f(x) 의 x=a에서의 테일러 급수는 \( f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \dots \ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (0) }{n!} (x-a)^n \) 로서 표현 가능하다. 이에 대한 증명은 별도의 포스팅에서 다루고, 오늘은 여러 함수들의 테일러 급수와 그 유도과정에 대해 알아보고자 한다. 1) \( ln(1+x) \)곱셈공식에 의해\( \frac{1}{1-x} = 1+ x + x^2 ..

">교대급수의 정의모든 자연수 \(n \in \mathbb{N} \)에 대해\(a_{2n-1} \leq 0 \) 이고 \( a_{2n} \geq 0 \) (or \(a_{2n-1} \geq 0, a_{2n} \leq 0 \) ) 인 관계를 만족하는\( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)을 교대급수 (alternating series) 라고 한다. 교대급수 판정법\(a_n\) 이 단조감소수열이고 \( \lim_{x \rightarrow \infty } a_n = 0 \) 이면, 교대급수 \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}a_n = 0 \)은 수렴한다.증명. part 1) CACULUS 범위 이탈 : \(a_n \geq 0 \) 임을 보이기 - 완비성공리, 단조수렴정리..

"> CALCULUS 의 2.5 장, continuity 단원에서는 연습문제로 디리클레 함수의 연속성을 판별하는 문제가 등장하며, 다음과 같이 증명하는 것으로 흔히 알려져 있다.[Intro] - 디리클레 함수 함수 \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) 을 다음과 같이 정의하자. f는 \(\mathbb{R}\)상에서 불연속임을 보여라.$$ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{x : 유리수} \\ 0 & \text{x : 무리수} \end{cases} $$[Proof] 더보기\(c\in \mathbb{R}\)을 임의의 실수라고 하자. c가 유리수일 때를 생각하면 \(\lim_{n\rightarrow \infty} x_n \ = \ c\)를 만족하는 무리수..

"> [문항 1][논제 1-1] 실수 t가 \(0 \geq t \geq 1\)을 만족한다고 하자. [그림 1]과 같이 좌표평면 위의 점 P(-1,0)과 점 (0,t)를 지나는 직선이 원점을 중심으로 갖는 단위원과 만나는 다른 한 점을 Q라고 하자. 이 때, 점 Q의 x좌표와 y좌표를 각각 t에 관한 식으로 나타내시오. (10점)[논제 1-2] [논제 1-1]의 점 Q에서 원의 접선의 방정식을 구하시오. (10점)[논제 1-3] [그림 2]와 같이 \(t_1[논제 1-4] 주어진 자연수 n과 \(0 \geq k \geq n\)인 정수 k에 대해 \(t_k = \frac{k}{n} \) 라고 하자. 각각의\(t_k\) 마다 [논제 1-1]과 같은 방법으로 얻어지는 원 위의 점을 \(Q_k\)라고 하자. ..