2021 경희대 수리논술 - 모의논술

[논제 1-1]

<그림 1>과 같이 곡선 \(y=x^2\) 위의 점 P를 지나고 점 C(0,b)를 중심으로 하며, 점 P에서의 접선이 곡선 \(y=x^2\) 의 접선과 일치하는 원이 있다. 원의 반지름을 r이라고 했을 때, 다음 물음에 답하시오. (단 b,r>0)

(1) 점 P(\(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{4}\)) 일 때, 원의 중심 C(0,b)와 원의 반지름 r을 구하고 그 근거를 논술하시오.

(2) 원과 곡선 \(y=x^2\)이 한 점에서 만나기 위한 r의 범위와 두 점에서 만나기 위한 r의 범위를 각각 구하고 그 근거를 서술하시오.

풀이

\문제 1.

곡선 \(y=x^2\)의 점 P(\( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{4} \) )에서의 접선의 방정식은 \(y=\sqrt{3}(x-\frac{\sqrt{3}}{2})+\frac{3}{4}\) 이며, 이 직선은 동시에 원과의 접선이다. 

따라서 원의 중심 C(0,b)와 해당 직선사이의 거리는 r이며, 이 거리의 선분의 기울기는 \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) 이다.

$$ \frac{|\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2})-b+\frac{3}{4}|}{\sqrt{3+1}} = r $$

$$ \frac{b-\frac{3}{4}}{0-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}, \therefore b=\frac{5}{4}$$

두번째 식의 결과를 첫번째 식에 대입하면 곧 r=1이다.

 

\문제 2.

원과 곡선이 접하는 경우, 원의 반지름은 곧 원의 중심과 곡선 사이의 최단거리와도 같다.

따라서, 원의 반지름의 제곱함수 f(x)를 다음과 같이 잡아 그 최솟값을 찾는다.

$$ f(x) = x^2 + (x^2-b)^2 $$

$$ f'(x) = 4x(x^2-b+\frac{1}{2})$$

b의 범위를 \(\frac{1}{2}\) 를 기준으로 나눌 필요를 느낀다.

i) 0<b\(\geq \frac{1}{2} \)

f'(x)=0이 되는 경우는 x=0일 때 뿐이다.

따라서 f의 증감을 확인하면 x=0에서 최소값을 가짐을 알수있고, 이 경우 b=r이다. 그렇기에 \(0<r\geq \frac{1}{2}\)인 경우 원과 곡선은 한 점에서 만난다.

ii) b>\(\frac{1}{2}\)

f'(x)=0이 되는 경우는 x=0과, x=\(\pm \sqrt{b-\frac{1}{2}}\) 가 있다. 증감을 조사하면 결국 x=0 이 아닌 극값에서 최솟값을 가짐을 보일 수 있고, 이 경우 \(r^2=f(\pm \sqrt{b-\frac{1}{2}}) = b-\frac{1}{4} > \frac{1}{4}\) 임을 알 수 있다.

그렇기에 \(r>\frac{1}{2} \)인 경우에 원과 곡선은 두 점에서 만난다.

 

[논제 1-2] 

<그림 2>와 같이 16개의 교차로 지점이 있는 정사각형의 도로망이 있다. 이웃한 두 지점 사이의 거리는 모두 1이다. 

(1) 임의의 서로 다른 두 교차로 지점을 선택했을 때, 두 지점 사이의 최단 경로의 수가 될 수 있는 자연수를 모두 구하고, 그 근거를 논술하시오. 예를 들어, 지점 A와 지점 B 사이의 최단 경로의 수는 6이다.

(2) 도로망에서 지점 A를 지날 수 없다고 가정하자. 지점 A를 제외하고 서로 다른 두 교차로 지점을 선택했을 때, 두 지점 사이의 최단 경로의 수가 6 이상 될 확률을 구하고, 그 근거를 논술하시오.

풀이

 \문제 1.

주어진 도로망에서 나올 수 있는 경로의 수는 다음과 같다.

\(\therefore \) 1, 2, 3, 4, 6, 10, 20

 

\문제 2.

경로의 수가 6이상이 되려면 두 지점은 각각 2*2, 2*3, 3*2, 3*3의 양극단의 꼭짓점이어야함을 문제 1로부터 알수있었다. 

먼저, 2*2의 경우 아예 A를 포함하지 않게 잡으면 3개의 정사각형이 나오고, 각각으로부터 2개씩의 순서쌍을 얻는다. A를 포함하는 2*2는 딱 한 가지 경우밖에 없고, 1개의 순서쌍만을 가진다. 따라서 7개. ...일줄 알았으나! 

A를 포함하는 2*2의 경우는 결국 A를 지나는 경로는 세면 안되기에, 그 경로의 개수가 6개보다 작은 5개밖에 되지 않아 세면 안되는 경우이다. 따라서 2*2의 경우 6개가 맞다.

2*3의 경우 아예 A를 포함하지 않게 잡으면 그 경우가 1개밖에 나오지 않으며 이로부터 2개의 순서쌍을 얻는다. A를 포함하게 점을 경우 1개의 순서쌍을 더 가진다. 따라서 3개.

3*2의 경우에도 마찬가지로 3개를 갖는다.

3*3의 경우엔 무조건 A를 포함하므로 1개의 순서쌍만을 가진다. 

따라서 경로의 길이가 6이상인 경우는 총 13이며, 전체 경우의 수는 15개중에 2개를 고르는 경우의 수이므로 105개이다. \(\frac{13}{105}\)